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Eq. Biquadrada
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• Definição

Chama-se equação biquadrada na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma:

 com a, b, c

 

Exemplos:

 

a) x4 - 13x2 + 36 = 0

b) 2x4 + 5x2 - 1 = 0

c) 2x4 - 16x2 = 0

 

Observe que as equações são do 4Q grau e os expoentes da variável são números pares.

 

• Resolução de equações biquadradas em IR

Resolvemos uma equação biquadrada, transformando-a numa equação, do 2Q grau, através da mudança de variável (incógnita auxiliar).

 

Exemplo: Resolver a equação: x4 + 4x2 - 60 = 0

 

Solução:

 

Fazendo x² = y  x4 = y², temos:

             y² + 4y -60 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos:

y’ = 6      e     y’’ = -10

 

Substituindo os valores de y em x² = y, obtemos:

 

Para y’ = 6, temos: x² = 6  x =

 

Para y’’ = -10, temos: x² = -10

 

Logo, S =

 

• Composição de uma equação biquadrada

 

       Toda equação biquadrada de raízes reais  pode ser composta pela fórmula:

 

Exemplo: Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

a)    0 e  7

 

Solução:

 

 

b)   m e n

 

Solução:

 

 

• Propriedades das raízes da equação biquadrada

 

   Consideremos a equação , com  e sejam  as raízes dessa equação. Assim, podemos estabelecer a seguintes propriedades:

 

1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

 

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a .

 

3ª Propriedade: O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .